Sistema continuo armonico

Oscilador armónico forzado

Este es un artículo de mi amiga y colega Samantha Davies. Samantha es una estudiante de doctorado en matemáticas en la Universidad de Washington y una bloguera de matemáticas recién llegada. Visita su blog, With High Probability.

Las funciones armónicas se presentan a menudo como operadores extraños que siguen un conjunto de reglas complicadas, cuando en realidad son fenómenos extremadamente naturales que todo el mundo ha visto antes.  ¿Por qué entonces la desconexión? Una clase de análisis complejo no se tomará el tiempo de hablar del almacenamiento de energía potencial, y un libro sobre ciencia de datos no hablará de la dinámica de fluidos. Se hace hincapié en los casos de funciones armónicas en un entorno, en lugar de examinar más ampliamente toda la clase de funciones.

Comprender las funciones armónicas en estructuras discretas y continuas permite apreciar mejor cualquier escenario en el que se encuentren estas funciones, ya sea la animación, la distribución del calor, una red de inclinaciones políticas, los paseos aleatorios, ciertos flujos de fluidos o los circuitos eléctricos.

El término «armónico» tiene su origen en la descripción de algo que experimenta un movimiento armónico.  Si un muelle con una masa unida se estira o se comprime, al soltarlo el sistema se mueve hacia arriba y hacia abajo.  La masa experimenta un movimiento armónico hasta que el sistema vuelve a su equilibrio.  Estos movimientos repetitivos que presenta la masa se conocen como oscilaciones. En la jerga física, un movimiento armónico simple es un tipo de oscilación en el que la fuerza que devuelve un objeto a su equilibrio es directamente proporcional al desplazamiento.

Oscilador armónico

Si F es la única fuerza que actúa sobre el sistema, éste se denomina oscilador armónico simple y experimenta un movimiento armónico simple: oscilaciones sinusoidales alrededor del punto de equilibrio, con una amplitud y una frecuencia constantes (que no dependen de la amplitud).

Los ejemplos mecánicos son los péndulos (con pequeños ángulos de desplazamiento), las masas conectadas a muelles y los sistemas acústicos. Otros sistemas análogos son los osciladores armónicos eléctricos, como los circuitos RLC. El modelo de oscilador armónico es muy importante en física, porque cualquier masa sometida a una fuerza en equilibrio estable actúa como un oscilador armónico para pequeñas vibraciones. Los osciladores armónicos están muy presentes en la naturaleza y se aprovechan en muchos dispositivos fabricados por el hombre, como los relojes y los circuitos de radio. Son la fuente de prácticamente todas las vibraciones y ondas sinusoidales.

Un oscilador armónico simple es un oscilador que no está impulsado ni amortiguado. Consiste en una masa m, que experimenta una única fuerza F, que tira de la masa en la dirección del punto x = 0 y depende sólo de la posición x de la masa y de una constante k. El equilibrio de fuerzas (segunda ley de Newton) para el sistema es

Wikipedia

ResumenLa simulación cuántica permite imitar la evolución de otros sistemas cuánticos utilizando un sistema cuántico controlable. El oscilador armónico cuántico (QHO) es uno de los sistemas modelo más importantes de la física cuántica. Observar directamente la dinámica transitoria de un QHO con alta frecuencia de oscilación es difícil. Simulamos experimentalmente los comportamientos transitorios del QHO en un sistema abierto durante la evolución temporal con un modo óptico y un sistema de operación lógica de computación cuántica de variable continua. La evolución temporal de un conjunto atómico en la emisión espontánea colectiva se simula analíticamente mapeando el conjunto atómico en un QHO. La fidelidad medida, que se utiliza para cuantificar la calidad de la simulación, es superior a su límite clásico. El esquema de simulación presentado proporciona una nueva herramienta para estudiar los comportamientos dinámicos de los QHO.

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Ecuación del oscilador armónico amortiguado

El análisis armónico es una rama de las matemáticas que se ocupa de la representación de funciones o señales como superposición de ondas básicas, así como del estudio y la generalización de las nociones de series de Fourier y transformadas de Fourier (es decir, una forma ampliada del análisis de Fourier). En los últimos dos siglos, se ha convertido en un tema muy amplio con aplicaciones en áreas tan diversas como la teoría de números, la teoría de la representación, el procesamiento de señales, la mecánica cuántica, el análisis de mareas y la neurociencia.

El término «armónico» tiene su origen en la palabra griega antigua harmonikos, que significa «hábil en la música»[1]. En los problemas físicos de valores propios, comenzó a significar ondas cuyas frecuencias son múltiplos enteros unas de otras, como lo son las frecuencias de los armónicos de las notas musicales, pero el término se ha generalizado más allá de su significado original.

La transformada de Fourier clásica en Rn sigue siendo un área de investigación en curso, especialmente en lo que respecta a la transformación de Fourier en objetos más generales, como las distribuciones templadas. Por ejemplo, si imponemos algunos requisitos a una distribución f, podemos intentar traducir estos requisitos en términos de la transformada de Fourier de f. El teorema de Paley-Wiener es un ejemplo de ello. El teorema de Paley-Wiener implica inmediatamente que si f es una distribución no nula de soporte compacto (esto incluye funciones de soporte compacto), entonces su transformada de Fourier nunca tiene soporte compacto (es decir, si una señal está limitada en un dominio, es ilimitada en el otro). Esta es una forma muy elemental de un principio de incertidumbre en un entorno de análisis armónico.